Скорость движения центра масс системы. Уравнение движения центра масс системы. Энергия системы частиц

Уравнение движения центра масс в векторной форме

Положение и движение самолета в полете определяют относительно поверхности Земли. Поэтому за основную систему отсчета, принимают геоцентрическую неинерциальную систему ко­ординат, связанную с Землей и совершающую вместе с ней суточное

вращение с угловой скоростью со3 (земная система отсчета).

Движение центра масс самолета описывается динамическим

уравнением (1.7), которое после подстановки FBIi = RA + mgr примет вид

m^^P + RA + mgr + F’ + F*, (1.32)

где 1/к - вектор скорости движения центра масс самолета относи-

тельно Земли и gr - вектор гравитационного ускорения.

Переносную и кориолисову силы инерции, связанные с враще­нием Земли, определяют известными из теоретической механики выражениями

Fe - - mWe == - m

KK = - m#K = - 2m(to3 x VK), . (1.33)

где r -- радиус-вектор, проведенный из начала геоцентрической си­стемы отсчета 0° в центр масс самолета; We и И7К - переносное и кориолисово ускорения центра масс, обусловленные вращением выбранной геоцентрической системы отсчета относительно инер­циальной. ‘ .., .

Поскольку в справочных таблицах обычно приводятся значения ускорения свободного падения с учетом переносной силы инерции в зависимости от высоты, то в правой части уравнения (1.32) можно

геометрическую сумму сил гравитационного притяжеция. mgr и переносной силы инерции F1 заменить силой тяжести G:

G = mgt + Fe - mg. (1-34)

В (1.34) g-вектор результирующего ускорения свободного паде­ния и центробежной силы,.

Векторное уравнение (1,32) с учетом (1.34) запишем в виде

т^г=? + ^ + ®1+?к — О-35)

Как было указано в § 1.1, при практическом применении вектор­ное уравнение движения проектируется на оси прямоугольной си­стемы координат. Выбор систёмы координат для составления-диф­ференциальных уравнений движения центра масс самолета опреде­ляется задачей исследования. При исследовании траекторий обычно применяют траекторные оси. В то же время задачи устойчивости и управляемости удобнее рассматривать в связанной системе коор­динат.

Уравнения движения центра масс в траекторией системе координат

Наиболее простую и удобную форму система динамиче­ских уравнений движения центра масс самолета (поступательного движения) примет, если векторное уравнение (1.35) спроектировать на оси траекторной системы координат.

Применяя формулы (1.9) для проектирования левой части урав­нения (1.35) и учитывая, что 1/*„ = VI:, Vm = Vzi: =0, получим

тУк = Рхи Г Ххк ~Ь GXK ~Ь Р*к‘> тыг^Ук - Р!,к г Уi; b G,;K — F(1.36) - тыугУК - РZK “Ь ~Ь GZK ф F*к,

где (оун, согк - проекции на траекторные оси вектора угловой ско-

рости (о„ вращения траекторной системы координат относительно Земли; в правой части приведены проекции соответствующих сил на траекторные оси.

Для написания этих уравнений в развернутом виде необходимо

найти проекции угловой скорости сок, а также проекции кориоли-

совой силы инерции FK на траекторные оси. Проекции внешних сил и тяги на эти оси были определены в § 1.6.

Угловую скорость со„ можно представить в виде суммы переносной

угловой скорости сокр нормальной системы 0XgYgZg в системе от-

счета O^X^YqZq и угловой скорости сок& вращения скоростной си­стемы относительно нормальной:

сон = соКр -|- coKg. (1.37)

Переносная угловая скорость сокр, в свою очередь, может быть представлена суммой угловых скоростей:

Шкр -Я-ф-ф, (1.38)

где К - угловая скорость поворота меридиональной плоскости,

Угловая скорость coKg также может быть представлена в виде

суммы угловой скорости Фг вокруг ОСИ OYg и угловой скорости 0 вокруг оси OZg (см. рис. 1.5):

Используя табл. I (см. приложение) направляющих косинусов, находим проекции вектора сок на оси OY„ и OZK траекторной системы

co^j, = Я (sin ер cos 0 - cos ф sin Y sin 0) ф sin Y sin 0 + !F cos 0;

согк = Я, cos ф sin V - ф cos V ~f — 0, (1-40)

которые после подстановки выражений (1.21) в результате неслож­ных преобразований будут иметь вид

gj,(K = ¥ cos 0 V sin 4r cos20 tg ф/(/?з — f Я);

co2K = 0 - И cos Q/(R3 + Я). (1.41)

Найдем теперь проекции кориолисовой силы инерции на траек — торные оси. Вектор кориолисовой силы инерции определяется из­вестной из механики формулой

FK ~ - mwK = - 2т(и3 х Кк) (1-42)

и перпендикулярен (03 и Ук.

Проекции кориолисовой силы инерции на оси траекторной системы выражаются формулами

Кк = 0; FyK = 2ma>aVR cos ф cos

F*к = 2mcoaVK (sin ф cos 0 - cos ф sin ‘P sin 0).

Подставляя в (1.36) выражения для проекций угловых скоростей, определенные формулами (1.41), проекции тяги, аэродинамической силы, силы тяжести (см. формулы (1.27) и (1.28), а также (1.30)) и проекции кориолисовой силы инерции, выраженные формулами (1.43), получим систему динамических уравнений движения центра масс самолета относительно сферической вращающейся Земли в про­екциях на оси траекторной системы координат (при отсутствии ветра ук = V, ¥ = фи):

mV - Р cos (а + ф,) cos р - Ха - mg sin 0; (1.44)

mVQ = Р = пха

п1т = Р fsln (« + COS Уа + cos (о — f Фя) Stalin уа1 +

Ya cos у a - Zu sin Y0} = nya cos у a - nzU sin ya nzк = -^{p фР) sin p cos yJ h + У a sin ya + Za cos = tiya sin Yn + «го COS Yo-

В (1.49) и (1.50) аэродинамические силы определены в скорост­ной системе осей координат. .

‘ Разделив левые и правые части уравнений (1.44) … (1.46) на О = mg, получим динамические уравнения движения центра масс в перегрузках

V ?= пХа - sin 0;

Jr ё = tlya COS Yu — «za Sin Yu - COS 0 |-

f - cos ф sin ¥ (/?з + //)’. (1.51)

——— - і = nya sin Yu - «70 cos Ya H — - C0B к (simp cos 0 -

Cos ф cos ¥ sin 0) - Vі cosE0 sin ¥ tg

‘При рассмотрении частных случаев движения самолета выра­жения для проекций перегрузки значительно упрощаются.

Для]) полета без скольжения (ft == О, Za = 0) с малыми углами атаки, когда можно принять sin (a + фР) « а + фР, cos (os + + Фр) » 1, формулы (1.49) и (1.50) примут вид

Р-Ха. .. Р(а + Фр) + Ко. ха~ mg ■’ пч°~ Ищ *

пга = 0 (1,52)

и, без ветра, " ‘ 1 ‘ ■

«жк ~ «зса» пу* =.■«№COS Yu’.. «Лі = «j/аSin Yu — (15)

В проекциях на связанные оси вектор перегрузки может быть представлен составляющими пх, пу и nz, которые называются продольной, нормальной и поперечной перегрузкой соответственно. Используя таблицу направляющих косинусов, получим

Пх = пха COS a COS Р + пиа sin о - nzu cos os Sin Р; 4

пу - - пха sin a cos Р -)- пуа cos a + пга sin a sin P; (1-54) «г = nxa Si» P + «га cos P-

§ 1.8. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Исследование движения самолета относительно центра масс (вращательного,- илн углового) удобно выполнять, если ис­пользовать динамические уравнения в проекциях на оси связанной системы координат 0XYZ. При изучении углового движения само-

лета так же, как и при определении траекторий центра масс, при­меняют в качестве системы отсчета неинерциальную систему, свя­занную с Землей.

Проектируя векторное уравнение (1.8) на оси связанной системы координат и применяя формулы (1.9) для вычисления проекций производных по времени от вектора кинетического момента самолета, получим систему скалярных уравнений движения самолета относи­тельно центра масс (вращательного, или углового движения)

*§.- + coyKz-a>zKy = MRx)

J — агКх ьзхКг = Мру’, (1.55)

Rff — + ЫхКу - Ь)1/Кх = Мрг,

где К. х, К у, Кг - проекции вектора кинетического момента са­молета на связанные оси координат; (ох, ыу, (oz - проекции век­тора угловой скорости самолета относительно Земли на те же оси; MRx, MRu, MRz - проекции результирующего момента аэроди­намических сил и тяги относительно центра масс на те же оси. Сле­дует иметь в виду, что момент массовых сил (сил тяжести, центро­бежных и кориолисовых сил инерции) вокруг центра масс самолета равен нулю.

Угловая скорость самолета относительно Земли является сум­мой векторов угловой скорости самолета относительно нормальной

системы координат и угловой скорости (о«р вращения нормальной системы координат относительно Земли вследствие кривизны по­верхности Земли, Для реальных условий полета самолета последняя

составляющая ы„р мала и ею можно пренебречь.

Проекции кинетического момента К на произвольные подвижньЙ! оси записываются в теоретической механике^как /’V-;

Кх JХ^Х ‘ /xytoy /хг(0г)

где /ж, Jy, Jz осевые, а 7*„, Jxz, uJyZ - центробежные моменты инерции, которые определяются формулами:

Jx = J (уг + z) dm Jy - J (Xі — f z-) dm)

Jz = j (Xі + Уъ) dm; Jay = jxy dm

Jxi = j xz dm) Jyz = j t/z dm.

Моменты инерции самолетов с заметно изменяющейся в полете массой являются функциями времени.

Поскольку основная плоскость OXY связанной системы коорди­нат является плоскостью симметрии самолета, то в связанных осях центробежные моменты инерции, содержащие координаты г, равны нулю: Jxz — Juz — — 0.

С учетом этого упрощения, используя выражения (1.56), урав­нения (1.55), запишем в виде

Jх^х ^ху®у і г ^ у) ^ ху^х^у == рх)

Jу®У ^ху®х (/ж ‘ *^г) ®жВ)г Jx^z == ^Ry’i

Jг Ь (^у ^х) ^[>х^[)у Jxy (Щ* Wp) = Аі рг.

Подробнее выражения для проекций результирующего момента MRx, MRy и MRz будут рассмотрены во второй части книги при анализе углового движения самолета.

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n -ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как m k . Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую F k e . Внутренние силы имеют равнодействующую F k l . Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение a k . Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

m k a k = F k e + F k l .

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l , m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l , ⋯ m n a n = F n e + F n l .

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Определение 1

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R , выражаемым через радиус-векторы r 1 , r 2 , . . . соответствующих материальных точек по формуле R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m .

Здесь сумма показателей в числителе m = m 1 + m 2 + . . . + m 3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑ m k a k ¯ = ∑ F k ¯ e + ∑ F k ¯ l .

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

∑ m k r k = M r c .

Теперь возьмем вторую производную по времени:

∑ m k a k = M a c .

Здесь буквой a c ¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Определение 2

Свойство внутренних сил в системе гласит, что F k l равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

M a c ¯ = ∑ F k ¯ e .

Это уравнение является записью закона движения центра масс . Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

M x c ¨ = ∑ F k x ¯ e , M y c ¨ = ∑ F k y ¯ e , M z c ¨ = ∑ F k z ¯ e .

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

Теорема 1

1. Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела. Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.
2. С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Пример 1

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω . Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N ¯ α α . Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

m a ¯ = N ¯ + m g ¯ .

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α = m a ; N cos α = m g .

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

Поскольку a = υ 2 R , υ = ω R , то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

R = g t g α ω 2 .

Ответ: R = g t g α ω 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Уравнение движения центра масс

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11).

Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:

Следует подчеркнуть, что - сила трения сцепления - может принимать любое значение в интервале от О до (сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае

Качение без проскальзывания определяется условием

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

где - скорость центра масс тела, - скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

так как (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии:

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

откуда для линейного ускорения оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.

Заключение

Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся в сплошной среде.

В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта.

Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра.

Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта лаборатория навигации и управления.

Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом потоках.

На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой аэродинамики.

Также в институте компьютерных исследований проводят значимые исследования по динамике твердого тела.

Это направление исследований института связано с анализом движения твердого тела с широким применением компьютерных методов.

Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов и алгоритмов.

В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования, которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых интересных результатов.

Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли - методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.

ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин Кафедра общей физики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №23 Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси выполнил: студент гр. 5СКб-11 Череповец, 2009/10 уч. Год проверил: ассис. Герасимов Р.А. Введение...

е является проблема лазерного охлаждения твердых тел. При комнатной температуре атомы и молекулы, из которых состоит воздух, двигаются в различных направлениях со скоростью около 4000км/час. Такие атомы и молекулы трудно изучать, потому что они слишком быстро исчезают из области наблюдения. Понижая температуру, можно уменьшить скорость, однако проблема состоит в том, что при охлаждении газы обычно...

Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.

Теорема о движении центра масс системы

Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:

$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)

где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)

Из формулы (2) имеем:

Беря вторую производную по времени, получаем:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)

где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):

$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)

Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:

$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение теоремы состоит в следующем:

Теорема

• Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
• Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.

Пример

Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.

\[\omega \] \[\alpha \]

На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:

Спроецируем обе части на оси x и y:

\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]

Разделив одно уравнение на другое, получим:

Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:

Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $