Производная вычисление. Вычисление производной функции онлайн

Теорема 10.1. Пусть функцияu = φ (x) имеет в данной точкеx 0 производную. Тогда функцияy =c ∙u имеет в точкеx 0 производную
.

Здесь c – произвольная постоянная.

x приращение ∆ x . Тогда

∆ y =y (x 0 +∆ x ) ─y (x 0) =c ∙ φ (x 0 +∆ x ) ─c ∙ φ (x 0) =c ∙[φ (x 0 +∆ x ) ─ φ (x 0)] =c ∙∆φ .

Теорема доказана.

Теорема 10.2. Пусть функцииu (x ) иv (x ) имеют в данной точкеx 0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функцииu (x ) +v (x ),u (x ) ─v (x ),

u (x ) ∙v (x ), а также (еслиv (x 0)≠0) функция,

причём (
,
,
.

Доказательство. Пусть f (x ) =u (x ) +v (x ). Тогда ∆ f =f (x 0 +∆ x ) ─f (x 0) =

= u (x 0 +∆ x ) ─u (x 0) +v (x 0 +∆ x ) ─v (x 0).

(x 0) =
=

+

=
. Таким образом,
.

Совершенно аналогично доказывается, что
.

Пусть теперь f (x ) =u (x ) ∙v (x ). Тогда

∆ f =f (x 0 +∆ x ) ─f (x 0) =u (x 0 +∆ x ) ∙v (x 0 +∆ x ) ─u (x 0) ∙v (x 0).

Введём для удобства обозначения: ∆u = u (x 0 +∆ x ) ─u (x 0), ∆v =v (x 0 +∆ x ) ─v (x 0),

u = u (x 0),v = v (x 0). Тогдаu (x 0 +∆ x ) =u + ∆u ,v (x 0 +∆ x ) =v + ∆v ,

∆f = (u + ∆u ) ∙ (v + ∆v ) ─u ∙v = ∆u ∙ (v + ∆v ) +u ∙ ∆v .

Так как функция v (x ) дифференцируема (имеет производную) в точкеx 0 , то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→ 0 и ∆v → 0. Поэтому

=

∙v + u ∙
+
∙
∆v =

Таким образом,
.

∆ f =
─=
(здесь обозначенияu ,v , ∆u , ∆v имеют тот же смысл, что и выше).

=
. Так как
∆v = 0, то

=
=
. Таким образом,
.

Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной.

Пример 10.1. Найти производную функции .

Решение.

Пример 10.2. Найти производную функции
.

Решение.

Пример 10.3. Найти производную функции
.

Решение.

§ 11. Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема. Пусть функцияy = f (x ) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a ;b ) и в точке x 0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную(x 0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a ;b ), определена непрерывная обратная функцияx =φ (y ), которая в точкеy 0 = f (x 0 ) имеет производную
, причём

.

Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале
и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:
. Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции (
) определена и дифференцируема обратная функция

x = arcsin y , причём.

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале
функция
положительна. Итак,
, или, если аргументy обозначить

через x ,
.

§ 12. Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция u = φ (x ) имеет в некоторой точкеx 0 производную
, а функция
имеет в соответствующей точке
производную
. Тогда сложная функция
в точкеx 0 также имеет производную, равную произведению производных функций
иφ (x ):

Коротко это соотношение можно записать в виде .

Доказательство. Дадим аргументу x приращение ∆ x . Тогда функция u = φ (x ) получит приращение ∆ u , а функция
получит приращение ∆ y . Так как функцииφ (x ) и
имеют производные, то есть дифференцируемы, то, а, где
при
и
при
.

Подставим выражение для ∆u в выражение для ∆y :

Разделим это равенство на ∆x :

Если
, то
и (как следует из выражения для ∆ u )
. Но тогда и
. Поэтому

=
.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть
, гдеC – константа. Тогда
,
.

Пусть, например,
. Здесь
,
. Введём обозначение
, тогда
,.

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример 12.1. Найти производную функции
.

Решение. Введём промежуточную функцию
. Тогда
.

Пример 12.2. Найти производную функции
.

Решение. Здесь
,
.

Пример 12.3. Найти производную функции
.

Решение. Здесь
,
.

Пример 12.4. Найти производную функции
.

Решение. Здесь
,
.

Пример 12.5. Найти производную функции
.

Решение.

(здесь подразумевается промежуточная функция
).

Пример 12.6. Найти производную функции
.

Решение

Пример 12.7. Найти производную функции
.

Решение.
.

Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то есть если она содержит несколько промежуточных аргументов, то теорема о производной сложной функции применяется последовательно требуемое число раз. Пусть, например,

,
, а
, то есть
. Тогда
.

То же самое можно записать иначе:
.

Пример 12.8. Найти производную функции
.

Решение. Здесь
,
, тогда
.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.