Интервал симметричный относительно математического ожидания. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины. Примеры решения задач

Говорят, что СВ X имеет равномерное распределение на участке от a до b, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна, то есть

.

Например, производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями; в качестве приближенного значения измеряемой величины берется ближайшее целое. СВ X — ошибка измерения распределена равномерно на участке , так как ни одно из значений случайной величины ничем не предпочтительнее других.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

где — постоянная положительная величина.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Часто длительность времени безотказной работы элементы имеет показательное распределение, функция распределения которого
определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t.

— интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса ) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Плотность распределения нормального закона имеет вид

,

где m — математическое ожидание,

— среднее квадратическое отклонение X.

Вероятность того, что нормально распределенная СВ X примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется по формуле: ,

где Ф(X) — функция Лапласа . Ее значения определяются из таблицы приложения учебника по теории вероятностей.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , вычисляется по формуле

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.41. Цена одного деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения , где (b-a) — длина интервала, в котором заключены возможные значения X. В рассматриваемой задаче эта длина равна 0,1. Поэтому . Итак, .

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). По формуле имеем

ПРИМЕР 13.2.42. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) элемент откажет;

б) элемент не откажет.

Решение. а) Функция определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, поэтому, подставив , получим вероятность отказа: .

б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет .

ПРИМЕР 13.2.43. Случайная величина X распределена нормально с параметрами . Найти вероятность того, что СВ X отклонится от своего математического ожидания m больше, чем на .

Эта вероятность очень мала, то есть такое событие можно считать практически невозможным (можно ошибиться примерно в трех случаях из 1000). Это и есть “правило трех сигм”: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения .

ПРИМЕР 13.2.44. Математическое ожидание и среднее квадратического отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.Для нормально распределенной величины

.

Подставив , получим

По таблице находим .

Искомая вероятность .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для непрерывных случайных величин и их характеристик

3.2.9.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a,b).

Отв. :

3.2.9.2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения СВ T — времени, в течение которого ему придется ждать поезда; . Найти вероятность того, что ждать придется не больше полминуты.

Отв. :

3.2.9.3. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Отв. :2/3

3.2.9.4. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a,b). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на .

Отв. :0

3.2.9.5. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X — в интервале (a,b), Y — в интервале (c,d). Найти математическое ожидание произведения XY.

Отв. :

3.2.9.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательно распределенной случайной величины.

Отв. :

3.2.9.7. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

Отв. : ,

3.2.9.8. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти .

Отв. :0,233

3.2.9.9. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону , где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Отв. :0,37

3.2.9.10. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента . Найти вероятность того, что в интервале времени (0; 5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Отв. : а)0,292; б)0,466; в)0,19

3.2.9.11. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что X примет значение меньшее математического ожидания M(X), не зависит от величины параметра ; б) найти вероятность того, что X > M(X).

Отв. :

3.2.9.12. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Отв. : 0,6826

3.2.9.13. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что а) взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г; б) из трех независимых взвешиваний ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4г.

Отв. :

3.2.9.14. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.

Отв. :(-5,25)

3.2.9.15. Завод изготовляет шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с мм и мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром 10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром 9,3 мм. Найти процент шариков, которые будут браковаться.

Отв. :8,02%

3.2.9.16. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с проектной длиной (математическим ожиданием), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Указание: Из равенства предварительно найти .

Отв. :а)0,0823; б)0,0027

3.2.9.17. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически; их средняя масса равна 1,06 кг. Найти дисперсию, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Отв. :0,00133

3.2.9.18. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояние от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной брошенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Отв. :

3.2.9.19. В нормально распределенной совокупности 11% значений X меньше 0,5 и 8% значений X больше 5,8. Найти параметры m и данного распределения. >
Примеры решения задач >

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

• равномерное распределение
• показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
• нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.

№	Показатель	Нормальный закон распределения	Примечание
	Определение	Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
			где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднее квадратическое отклонение
2	Функция распределения
	Вероятность попадания в интервал (а;b)		- интегральная функция Лапласа
	Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ		при m x = 0

Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»

Задача.

Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X с вероятностью 0,95.

Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим :

при условии, что m x =20, σ =0,2.

б) Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть в интервал (19,7; 20,3) определяется :
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x) (таблица 2 )

в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем :
Р(|Х-20| < 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значение Ф(0,5) = 0,1915 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x) (таблица 2 )

г) Поскольку вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,383, то отсюда следует, что в среднем 38,3 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,3%.

д) Поскольку процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%, то Р(|Х-20| < δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 0,74. Отсюда δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 мм.

е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения m x = 20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству 20 − δ < X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

По условию вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95, значит P(|x − 20| < δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 1,96. Отсюда δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Искомый интервал : (20 – 0,392; 20 + 0,392) или (19,608; 20,392).

На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.

Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид

$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$

Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.

Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.

Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.

3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.

Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле

$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.

Используя формулу

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Пример 1. Математическое ожидание нормально распределенной непрерывной СВ X M (X ) = 6, а среднее квадратическое отклонение s(X ) = 2.

Найти: 1) вероятность попадания значений СВ X в интервал (2; 9);

3) интервал, симметричный относительно a X с вероятностью g = 0,9642.

Решение . 1) Найдем вероятность попадания значений СВ X в интервал (2; 9).

Значения функции Лапласа взяты из таблицы. Учтено свойство нечетности функции Ф(–X ) = – Ф(X ).

2) Определим вероятность

Так как a = M (X ) = 6 и s = s(X ) = 2, то

3) Найдем интервал, симметричный относительно a , в который попадают значения СВ X с вероятностью g = 0,9642.

Из таблицы значений функции Лапласа находим то есть d = 4,2. Тогда интервал равен –4,2 < X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Пример 2. Случайная величина Т (час.) – время безотказной работы прибора имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что прибор проработает без ремонта не менее 600 часов, если среднее время безотказной работы приборов этого типа равно 400 часам.

Решение . M (T ) = 400 час., следовательно, по формуле (1.46) Так как для показательного распределения то
0,2233.

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [a , b ]. Найти вероятность попадания случайной величины X на отрезок
, целиком содержащийся внутри отрезка [a , b ].

Решение . Воспользуемся формулой где плотность вероятности

.

Таким образом

Пример 4. Электропоезда идут строго по расписанию с интервалом
20 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к платформе, будет ожидать очередной электропоезд более 10 мин., а также среднее время ожидания.

Решение . X – время ожидания (мин.) электропоезда, можно считать равномерно распределенной случайной величиной с плотностью:

и это среднее время ожидания электропоезда.

Пример 5. Автомат изготовливает втулки. Втулка считается годной, если отклонение X ее диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 1мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением s = 0,5 мм и математическим ожиданием a = 0, найти сколько будет годных втулок среди 100 изготовленных, а так же вероятность того, что отклонение от проектного размера будет не менее 0,4 мм и не более 0,8 мм.

Решение . Воспользуемся формулой () при d = 1, s = 0,5 и a = 0.

Отсюда следует, что примерно 95 втулок из 100 окажутся годными.

Для нахождения вероятности того, что отклонение от проектного размера будет не менее 0,4 мм и не более 0,8 мм воспользуемся формулой (1.54)

при a = 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Значения функции Ф(x ) находим по таблице.

Варианты заданий

ВАРИАНТ 1

X (CB X ) задана рядом распределения:

F (x М (X ), дисперсию D (X X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. Каждый из стрелков стреляет по мишени один раз. Вероятность того, что первый, второй и третий стрелки попадут в мишень при одном выстреле, соответственно равны 0,8; 0,6 и 0,9. Для
CB Х – общего числа попаданий в мишень при указанных условиях, составить ряд распределения и найти F (x ), M (X ), s(X ) и D (X ).

Задача 3. Вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна 0,6. Требуется: 1) построить ряд распределения дискретной CB X – числа появлений события А в четырех независимых опытах; 2) оценить вероятность того, что в серии из 80 независимых опытов это событие появится не менее 60 раз.

Задача 4. Дискретная CB X задана рядом распределения:

Найти ряд распределения CB Y = –2X 2 + 3, M (Y ) и D (Y ).

Задача 5. Непрерывная CB X

Найти: а) плотность распределения f (x ); б) M (x ); в) г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу

Задача 6. Задана функция

A CB X . Найти F (x ), M (X ) и D (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 14 и s(X СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a CB Х с вероятностью g = 0,8385.

Задача 8. Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 с. Отсчет времени делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Ошибку отсчета при указанных условиях можно считать равномерно распределенной случайной величиной.

Найти вероятность произвести по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой а) менее 0,05 с; б) не менее 0,01 с и не более 0,05 с.

ВАРИАНТ 2

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (–2 ≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. В лотерее 100 билетов, из которых 10 выигрышных. Некто покупает 4 билета. Для СВ Х – числа выигрышных билетов среди тех, что будут куплены, составить ряд распределения и найти F (x ), М (X ), s(X ).

Задача 3. Отчеты составляются независимо один от другого. Вероятность допустить ошибку при составлении каждого отчета равна 0,3. Требуется: 1) построить ряд распределения CB X – числа отчетов с ошибками среди четырех составляемых; вычислить M (X ), D (X ) и s(X ); 2) оценить вероятность того, что при составлении 50 отчетов будет равно 20 отчетов с ошибками.

Задача 4. Известно, что дискретная CB X можетпринимать только два значения x 1 = –2 и x 2 = 3 и ее математическое ожидание M (X ) = 1,5. Составить ряды распределения CB X и CB Z = Найти F (z) и s(Z ).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

f (x ); 2) M (x ) и D (X );
3) 4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно один раз примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A , при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X . Найти F (x ), M (X ), D (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 12 и s(X СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0,4515.

Задача 8. Случайная ошибка измерения некоторой детали подчинена нормальному закону с параметром s = 20 мм. Найти вероятность того, что: а) измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 22 мм; б) ни в одном из двух произведенных измерений ошибка не превысит по модулю 22 мм.

ВАРИАНТ 3

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (1 ≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. Из трех спортсменов, вошедших в молодежную сборную страны на соревнованиях по прыжкам в высоту, один может пройти квалифицированные старты с вероятностью 0,9, второй с вероятностью 0,8 и третий с вероятностью 0,6. Для CB Х – количества спортсменов сборной, которые пройдут в следующий круг соревнований, составить ряд распределения и найти M (X ), s(X ).

Задача 3. Производится серия независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Требуется: 1) построить ряд распределения CB X – числа попаданий при трех выстрелах; 2) оценить вероятность того, что при 100 выстрелах будет не менее 90 попаданий.

Задача 4. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти ряд и функцию распределения CB Y = 2X + 1, M (Y ) и D (Y ).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x ); 2) M (x ) и D (X );
3) P (–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (–2,3; 1,5).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A , при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X . Найти F (x ), и M (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 13 и s(X СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0,9973.

Задача 8. Известно, что время ремонта телевизора есть случайная величина X , распределенная по показательному закону, при этом среднее время ремонта телевизора составляет две недели. Найти вероятность того, что на ремонт привезенного в мастерскую телевизора потребуется: а) менее 10 дней; б) от 9 до 12 дней.

ВАРИАНТ 4

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. У дежурного имеется 5 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Для дискретной CB X – числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется) составить ряд распределения и найти F (x ) и M (X ).

Задача 3. Вероятность изготовления детали с заданными параметрами точности из стандартной заготовки для каждой детали равна 0,8.

Требуется: 1) построить ряд распределения CB X – числа деталей с заданными точностными характеристиками, которые будут изготовлены из пяти стандартных заготовок; 2) оценить вероятность того, что будет изготовлено 70 деталей с заданными точностными характеристиками из 90 заготовок.

CB X и Y :

Составить ряд распределения CB Z = Y – X . Найти M (Z ) и D (Z ).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x ); 2) M (x ); 3) CB X ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A , при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X . Найти F (x ), M (X ) и D (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 16 и s(X ) = 2 нормально распределенной непрерывной СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0,9281.

Задача 8. Рост взрослого мужчины является СВ Х , распределенной по нормальному закону с параметрами а = 175 см и s = 10 см. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины окажется: а) менее 180 см; б) не менее 170 см и не более 175 см.

ВАРИАНТ 5

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. Мишень состоит из круга и двух концентрических колец. Попадание в круг дает 6 очков, в кольцо 2 дает 4 очка, а попадание в кольцо 3 дает два очка. Вероятности попадания в круг и кольца 2 и 3 соответственно равны 0,2; 0,3 и 0,5. Для дискретной СВ Х – суммы выбитых очков в результате трех попаданий, составить ряд распределения и найти F (x ), M (X ), s(X ).

Задача 3. Автоматическая линия состоит из n независимо работающих однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует наладки в течение смены для каждого станка равна 0,3. Требуется: 1) построить ряд распределения CB X – числа станков, которым потребуется наладка в течение смены, если n = 4; 2) оценить вероятность того, что за смену потребуют наладки 20 станков, если n = 100.

Задача 4. Совместное распределение дискретных CB X и Y задано таблицей:

Составить закон распределения CB Z = Y + X . Найти M (Z ) и D (Z ).

Задача 5. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x ); 2) M (x ) и D (X );
3) P (3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (3; 9).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A , при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X . Найти F (x ), M (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 10 и s(X ) = 4 нормально распределенной непрерывной СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0,5161.

Задача 8. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Случайная величина X – разница между временем, показываемым на табло и истинным временем имеет равномерное распределение. Найти вероятность того, что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного: а) не менее, чем на 10 с и не более, чем на 25 с; б) не менее, чем на 25 с.

ВАРИАНТ 6

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. В группе 12 студентов, из которых 5 живут в общежитии. По списку наудачу отбираются 4 студента. Для СВ Х – количества проживающих в общежитии студентов среди тех, кто будет отобран, составить ряд распределения и найти F (x ), M (X ) и D (X ).

Задача 3. При изготовлении однотипных деталей на устаревшем оборудовании каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,1. Построить ряд распределения CB X < 3);
4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу (1; 3).

Задача 6. Задана функция

Определить значение параметра A , при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной CB X . Найти F (x ), M (X ) и D (X ). Построить график F (x ).

Задача 7. Заданы M (X ) = 11 и s(X ) = 3 нормально распределенной непрерывной СВ X . Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный относительно a интервал, в который попадают значения CB Х с вероятностью g = 0,9973.

Задача 8. Срок безотказной работы телевизора данной марки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами а = 12 лет и s = 2 года. Найти вероятность того, что в телевизор проработает без ремонта: а) от 9 до 12 лет;
б) не менее 10 лет.

ВАРИАНТ 7

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X ) задана рядом распределения:

Найти: 1) функцию распределения F (x ); 2) числовые характеристики: математическое ожидание М (X ), дисперсию D (X ), среднее квадратическое отклонение s(X ), моду M 0 (Х ); 3) вероятность P (2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F (x ).

Задача 2. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего для первого станка равна 0,7; для второго – 0, 75; для третьего – 0,8; для четвертого – 0,9. Для дискретной СВ Х – число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа, составить ряд распределения и найти F (x ), M (X ) и D (X ).

Задача 3. Имеется n независимо работающих станков. Построить ряд распределения CB X – числа станков, работающих в данный момент времени, если n = 6, а вероятность того, что станок работает в данный момент времени равна 0,9; вычислить M (X ) и D (X ). Оценить вероятность того, что на предприятии, у которого n = 180 и вероятность работы для каждого станка равна 0,98, число работающих в данный момент станков будет не менее 170.

Задача 4. Заданы законы распределения независимых дискретных CB X и Y :

Составить ряд распределения CB Z = XY + 2. Найти M (Z ) и D (Z ).