Репетитор понятие первообразной и неопределенного интеграла. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Интегралы от дифференциальных биномов

Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение

«Невинномысский энергетический техникум»

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Тема занятия :

Первообразная функции. Неопределенный интеграл.

Преподаватель математики:

Скрыльникова Валентина Евгеньевна

Невинномысск 2016 год.

Цели занятия :

Образовательная : Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла и первообразных, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.

Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.

Воспитательная : Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.

Вид занятия : урок

Тип занятия : сообщения новых знаний

Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.

Квалификационные требования:

Ученики должны:

В ходе изучения темы « Первообразная функции. Неопределенный интеграл » студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, иметь представления о возможностях применения средств интегрального исчисления в геометрических, физических и др. прикладных задачах.

Знать:

определение первообразной функции и неопределенного интеграла;

свойства и методы нахождения интегралов

формулы простейших интегралов.

Уметь:

вычислять первообразные и неопределенный интеграл, используя основные свойства и методы нахождения.

Междисциплинарные связи : физика, история математики.

Внутридисциплинарные связи : «Нахождение производной», «Вычисление объемов тел», «Вычисление определенного интеграла».

Обеспечение занятия :

-Наглядные пособия : портреты великих математиков, имеющих представление к интегральному исчислению

-Раздаточный материал : конспект со схемами, карточки с заданиями (на этапе закрепления).

-Оборудование : чертежные принадлежности, линейка.

Структура занятия.

1. Организационный момент (1 мин.)

Мотивация учебной деятельности. (3 мин.)

Изложение нового материала. (50-51 мин.)

Самостоятельная работа (10 мин)

Закрепление изученного материала. (5 мин.)

Подведение итогов занятия. (2-3 мин.)

Сообщение домашнего задания. (1мин.)

Ход занятия.

Организационный момент . (1 мин.)

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

Мотивация учебной деятельности .(3 мин.)

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер.

Цель занятия: сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Студенты записывают дату и тему занятия.

3.Изложение нового материала (50-51 мин)

Тема : «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.»

Из истории интегрального исчисления. О происхождении терминов и обозначений.

Определение первообразной, её основное свойство, правила нахождения первообразных.

Понятие неопределенного интеграла, его свойства.

1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово « интеграл » придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.

2. Определение 1 : Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F ’(x ) = f (x ).

Пример: Первообразной для функции f ( x )= x 3 на всей числовой оси является F ( x )= x 4 /4, поскольку ( x 4 /4)’= x .

Основное свойство первообразных

Если F (x ) – первообразная функции f (x ), то и функция F (x )+ C , где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x ).

Геометрическая интерпретация

графики всех первообразных данной функции f ( x ) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y .

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функцияkF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (
), то функция

- первообразная для f(kx+b).

3. Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2 : Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x) .

В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией , а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных данной функции f ( x ) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :

где C – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

Таблица простейших интегралов.

Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления.

Учащиеся записывают информацию об истории возникновения интеграла.

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

Решение примеров на нахождение неопределенного интеграла.

Самостоятельная работа

Вариант 1

4.Закрепление изученного материала.(12 мин)

На этапе закрепления изученного материала предлагается игра «Найди свою половинку». Всем присутствующим предлагается разбиться на восемь подгрупп. Каждой подгруппе раздается карточка, на которой написано либо «функция» либо «первообразная» и соответствующее задание, т.е.

Если на вашей карточке написано слово «функция», то вы должны используя таблицу простейших интегралов найти интеграл от этой функции.

Если написано «первообразная», то вы должны найти саму функцию, используя операцию дифференцирования.

Свою «половинку» найти на доске. После чего прикрепить магнитом свой ответ. После полного набора, убедимся, что все совпадения правильные. Каким образом? Перевернуть ответы обратной стороной, где образуется ключевое слово «Интеграл» - тема занятия.

Придерживаться инструктажа по правилам игры.

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C .

Определение 1

Первообразная функции f (x) на промежутке (a ; b) это такая функция F (x) , при которое формула F " (x) = f (x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F (x) + C " = f (x) .

Получается, что функция f (x) имеет множество первообразных F (x) + C , для произвольной константы C . Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f (x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫ f (x) d x = F (x) + C . При этом, выражение f (x) d x является подынтегральным выражением, а f (x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f (x) .

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F (x) , а множество ее первообразных F (x) + C .

• Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫ f (x) d x " = F (x) + C " = f (x)

• Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫ d (F (x)) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C

• Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

• Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫ f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f (x) d x " = k · ∫ d (x) d x " = k · f (x) ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x " = ∫ f (x) d x " ± ∫ g (x) d x " = f (x) ± g (x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найдем первообразную функции f (x) = 1 x , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d (ln x) = (ln x) " d x = d x x = f (x) d x ∫ f (x) d x = ∫ d x x = ∫ d (ln (x))

Используя второе свойство ∫ d (ln (x)) = ln (x) + C , мы получаем множество первообразных ln (x) + C . При х = 1 получим значение ln (1) + C = 0 + C = C . Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид ln (x) + 1 .

Ответ: f (x) = 1 x = ln (x) + 1

Пример 2

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2 sin x 2 cos x 2 = sin x , получим ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = ∫ sin x d x .

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

d (cos x) = cos x " d x = - sin x d x ⇒ sin x d x = - d (cos x)

То есть, ∫ sin x d x = ∫ (- d (cos x))

Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫ - d (cos x) = - ∫ d (cos x) .

По второму свойству получаем - ∫ d (cos x) = - (cos x + C)

Следовательно, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C .

Проверим полученный результат дифференцированием.

Продифференцируем полученное выражение:
- cos x - C " = - (cos x) " - (C) " = - (- sin x) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу:по заданному дифференциалу, а, следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение

или соответственно

,

где f(x) – известная функция, нужно найти функцию F(x). Искомая функция F(x) называется при этом первообразной функцией по отношению к функции f(x) . Для простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке.

Определение: Первообразной функциейдля данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Например, одной из первообразных функций для функции будет , ибо . Первообразная функция не единственна, так как и т.д., и поэтому функции и т.п. также являются первообразными для функции . Следовательно, данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

В нашем примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что это будет иметь место и в общем случае.

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство: В самом деле, пусть f(x) – некоторая функция, определенная на промежутке , и F 1 (x), F 2 (x) – ее первообразные, т.е.

и .

Отсюда .

Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

F 1 (x) - F 2 (x) = С,

где С – постоянная величина. Теорема доказана.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию. Если у = F 1 (x) и Y = F 2 (x)

Первообразные одной и той же функции f(x), то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 1):

tgα = = f(x) .

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным: F 2 (x) – F 1 (x) = С, т.е. эти кривые в некотором смысле «параллельны» друг другу.

Следствие: Прибавляя к какой-либо первообразной функции f(x) , определенной на промежутке , все возможные постоянные С, мы получим все первообразные для функции f(x).

В самом деле, если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция F(x)+C , где С - любая постоянная, также будет первообразной функции f(x), так как .

С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная функции f(x) может быть получена из функции F(x) путем прибавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного слагаемого С .

Следовательно, выражение F(x) + С , где , (2)

где F(x) – какая-либо первообразная для функции f(x) , исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции f(x) .

В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке .

Введем теперь основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом .

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Согласно определению неопределенного интеграла можно записать

, (3)

Пример. Как мы видели, для функции одной из первообразных является функция . Поэтому .

Геометрически неопределенный интеграл у=F(x)+C представляет собой семейство «параллельных» кривых (рис.2).

Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F"(x ) = f (x ) .

Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как

F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основное свойство первообразной

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.

Правила вычисления первообразных

1. Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
2. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
3. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F(k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄

Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то

∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F(k x + b ) + С .

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила вычисления определённого интеграла

1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);

2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);

3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;

4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);

5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);

6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;

7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.

Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла	Физический смысл определённого интеграла
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$	Путь s , который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t) , за промежуток времени a ; b ] , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$
	Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄

Объём тела вращения

	Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Например. Вычислим объём конуса с радиусом r и высотой h . Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox , а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB $$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$
и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄