Иррациональные числа определение. Иррациональные числа — Гипермаркет знаний. Числа, не являются иррациональными

От абстрактности математических понятий порой настолько веет и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т.п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных , которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m - количество шкур, n – количество соплеменников.

Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

Свойства

Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

o Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

o Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории Бэра.

o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно рациональное число, а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

o Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры иррациональных чисел

При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.

Так мы подошли к определению иррациональных чисел .

Определение.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Определение.

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Является ли данное число иррациональным?

Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.

Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:

конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.

Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.

Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .

Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.

Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.

Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.

Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.

Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.

Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .

В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.

Список литературы.

Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Пример:
\(4\) - рациональное число,т.к.его можно записать как \(\frac{4}{1}\) ;
\(0,0157304\) - тоже рациональное,т.к.его можно записать в виде \(\frac{157304}{10000000}\) ;
\(0,333(3)…\)-и это рациональное число: можно представить как \(\frac{1}{3}\) ;
\(\sqrt{\frac{3}{12}}\) - рациональное, так как можно представить как \(\frac{1}{2}\) . Действительно, мы можем провести цепочку преобразований \(\sqrt{\frac{3}{12}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)

Иррациональное число – это число, которое невозможно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.

Пример:
\(\sqrt{2}≈1,414213562…\) -иррациональное число;
\(π≈3,1415926… \) -иррациональное число;
\(\log_{2}{5}≈2,321928…\)-иррациональное число.

Пример (Задание из ОГЭ ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{7}\);
2)\((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})\);
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}\) ;
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}\).

Решение:

1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 7}=3\sqrt{14}\) – корень из \(14\) взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.

2) \((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})= (\sqrt{9}^2-\sqrt{14}^2)=9-14=-5\) – корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой \(\frac{-5}{1}\) , значит оно рациональное.

3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}=\sqrt{\frac{11}{1}}=\sqrt{11}\) –корень нельзя извлечь - число иррациональное.

4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}+3\sqrt{6}=3\sqrt{6}+3\sqrt{6}=6\sqrt{6}\) – тоже иррациональное.