Непосредственное интегрирование примеры. Непосредственное интегрирование. Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=
.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2. Найти
.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

=
.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6. Найти
.

 Умножив подынтегральное выражение на
находим

=
.

Пример 7 .

Пример 8 .

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции
.

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя
под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и
,

где
- любая дифференцируемая функция отx . Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что
, следует
. Возьмем теперь функцию
. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функции  имеем

Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде

т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
и последующей подстановке
.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3 . .

Пример 4 . .

Пример 5 .
.

Пример 6 . .

Пример 7 . .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10 . .

Пример 11.

Пример 12 . НайтиI=
(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

Следовательно,

Таким образом,
.

Пример 12а. НайтиI =
,
.

 Так как
,

следовательно I = . 

Пример 13. Найти
(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14. НайтиI=
(х а ,а 0).

 Имеем
.

Итак,

(х а ,а 0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение
к виду
, гдеесть некоторая функция отx иg – функция более простая для интегрирования, чемf .

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb – постоянная величина

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подx понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
(х а ,а 0).

9.
(а 0).

Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойх на новую переменную
. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15. НайтиI=
.

 Произведем замену переменной по формуле
, тогда
, т.е.
иI=
.

Заменив u его выражением
, окончательно получим

I=
.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции
.

Пример 16. Найти
.

 Положим
, тогда
, откуда
. Следовательно,

Пример 17. Найти
.

 Пусть
, тогда
, или
. Следовательно,

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=
.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл
(
- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку
, где
- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
,
и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

Производят замену под интегралом.

Находят полученный интеграл.

Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18. Найти
.

Пример 19. Найти
.

=
.

Этот интеграл найдем подведением
под знак дифференциала.

=.

Пример 20. Найти
(
).

, т.е.
, или
. Отсюда
, т.е.
.

Таким образом, имеем
. Заменяяего выражением черезx , окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:
(
).

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида
.

Пример 21. Найти
.

Пример 22. Найти
.

 Воспользуемся подстановкой
. Тогда
,
,
.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23. Найти
.

=
.

Итак,
.

Другой подход к вычислению этого интеграла:

Пример 24. Найти
.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Этот метод сводится к интегрированию дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.1) при известном законе изменения изгибающих моментов М (х). Считая жесткость балки при изгибе постоянной (EJ z = const) и последовательно интегрируя уравнение (9.1), получим

В выражениях (9.5) и в дальнейшем для упрощения записи опущены индексы у моментов инерции и изгибающих моментов.

Выражения (9.5) позволяют получить аналитические законы изменения прогибов и углов поворота в балке. Входящие в (9.5) постоянные интегрирования С 1 и С 2 подлежат определению из кинематических граничных условий и условий сопряжения участков балки.

Кинематические граничные условия отражают характер закрепления (опирания) балки и ставятся относительно прогибов и углов поворота. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 9.4) граничные условия характеризуют отсутствие прогибов на опорах: х = 0, х = /, v = 0. Для консольной балки (рис. 9.5) граничные условия характеризуют равенство нулю прогиба и угла поворота в жесткой заделке: х = 0, v = 0; ср = 0.

Условия сопряжения ставятся на границах участков с различными законами изменения изгибающих моментов. При отсутствии промежуточных шарниров и так называемых параллелограммных механизмов (ползунов) условия сопряжения заключаются в равенстве прогибов и углов поворота в сечениях слева и справа от границы участков, то есть они характеризуют непрерывность и гладкость изогнутой оси балки. Например, для балки на рис. 9.4 можно записать: х = а, и = и

При наличии п участков с различными законами изменения изгибающих моментов выражение для прогиба будет содержать 2п постоянных интегрирования. Используя граничные условия и условия сопряжения участков, можно получить систему 2п линейных алгебраических уравнений относительно этих постоянных. После определения всех постоянных интегрирования будут установлены законы изменения u(x) и ср(х) в пределах каждого участка балки. Рассмотрим примеры определения прогибов и углов поворота в балках с помощью метода непосредственного интегрирования.

Пример 9.1. Определим аналитические выражения для и(лс) и cp(x) в консольной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.6), и вычислим значения этих величин на свободном конце.

Изгибающий момент в балке на всем ее протяжении изменяется по закону квадратной параболы:

Подставим это выражение в решение (9.5) и проинтегрируем его:

Использовав граничные условия, определим постоянные интегрирования:

Запишем окончательные выражения для прогибов и углов поворота в балке и определим значения этих величин на свободном конце:

Пример 9.2. Для шарнирно опертой балки, нагруженной на конце сосредоточенной силой (рис. 9.7), определим выражения для у(х) и (р(х) и вычислим значения этих величин в характерных сечениях.

Эпюра М приведена на рис. 9.7. Изгибающие моменты имеют различные законы изменения на первом и втором участках балки. Интегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси в пределах каждого участка.

Первый участок (0 2а):

Второй участок (2а

Для определения четырех постоянных интегрирования С, С 2 , D x и D 2 ставим граничные условия и условия сопряжения участков:

Из условия сопряжения участков получаем равенство постоянных интегрирования на первом и втором участках: С { = D v С 2 = D T Использовав граничные условия, находим значения постоянных:

Запишем окончательные выражения для и(х) и ср(х) в пределах каждого участка:

В этих выражениях вертикальная черта с цифрой внизу соответствует границе каждого участка. В пределах первого участка v и ср определяются функциями, стоящими до вертикальной черты с цифрой 1, а в пределах второго участка - до вертикальной черты с цифрой 2, то есть всеми функциями.

Вычислим v и (р в характерных сечениях балки:

В пределах первого участка знак угла поворота изменяется на противоположный. Установим положение сечения, где угол поворота обращается в нуль:

В сечении х =x Q прогиб балки имеет экстремум. Вычисляем его значение:

Для сравнения определим величину прогиба балки в середине пролета:

Можно отметить, что экстремальный прогиб весьма незначительно (на 2,6%) отличается от прогиба в середине пролета.

Выполним числовой расчет при Р= 20 кН и а = 1,6 м. Подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра, приняв коэффициент надежности по нагрузке у^= 1,2, коэффициент условий работы у с = 1, расчетное сопротивление материала R = 210 МПа = = 21 кН/см 2 и модуль упругости стали Е- 2,1 10 4 кН/см 2 .

Принимаем 120, W z = 184 см 3 , J = 1840 см 4 .

Вычислим наибольшие значения угла поворота и прогиба в балке. Согласно СНиП расчет производим на действие нормативных нагрузок.

Из рассмотренного примера видно, что при наличии в балке нескольких участков с различными законами изменения изгибающих моментов метод непосредственного интегрирования становится громоздким и неудобным.

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Для начала изменим вид функции на f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 .

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 · ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , а также правило ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Следовательно, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

У нас получилось следующее:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

причем C = C 1 + 3 2 C 2

Ответ: ∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Добавим еще одну переменную z = 2 x - 9 . Теперь нам нужно выразить x через z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 · z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Ответ: ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида x m (a + b x n) p , где значения m , n , p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Этот метод объясняет правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Добавляем еще одну переменную z = k · x + b . У нас получается следующее:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫ f (k · x + b) d x = ∫ f (z) · d z k = 1 k · ∫ f (z) d z = = 1 k · F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Если же мы примем C 1 k = C и вернемся к исходной переменной x , то у нас получится:

F (z) k + C 1 k = 1 k · F k x + b + C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f (g (x)) d (g (x)) . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z = g (x) , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F (g (x)) + C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

c t g x d x = cos s d x sin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x · d x = d (sin x) , значит:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x , т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Допустим, что sin x = z , в таком случае ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Согласно таблице первообразных, ∫ d z z = ln z + C . Теперь вернемся к исходной переменной ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Ответ: ∫ с t g x d x = ln sin x + C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f (x) d x = u (x) · v " x d x = u (x) · d (v (x)) , после чего применяется формула ∫ u (x) · d (v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x) . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .

Решение

Допустим, что u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , в таком случае:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Когда мы вычисляем значение функции v (x) , прибавлять постоянную произвольную С не следует.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогда 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Ответ: ∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u (x) . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8 , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Интегральное исчисление функций одной переменной

2. Первообразная и неопределенный интеграл.

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица интегралов

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан-ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ-ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун-к-ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F ′(x) = f(x)

или, что то же самое, соотношению

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция sin 5x - первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x ) = 5cos5x , так как (sin5x )′ = 5cos5x .

Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) - первообразная от функции f(x) , то

Ф(x) = F(x) + C ,

где С - любая постоянная, также первообразная, так как

Ф ′(х ) = (F (x ) + C )′ = F ′(x ) + 0 = f (x ).

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 1 (о первообразных). Если F (x ) − какая-нибудь первообразная от функции f (x ) на интервале (a, b ), то все ее первообразные имеют вид F (x ) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что гра-фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб-лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S ′(t ) = V (t ), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .

Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать началь-ные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0 . Пусть при t = t0 имеем S = S0 . Тогда

S(t 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. С = S 0 - F(t 0 ) и S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).

Определение 2. Если F(x) - некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная, называется неопреде-ленным интегралом и обозначается

∫f (x )dx = F (x ) + C ,

т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво-образных.

При этом функция f(x) называется подынтегральной , а произведение f(x)dx - подынтегральным выражением ; F(x) - одна из первообразных; х - пе-ременная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:

Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b) , то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫f (x )dx.

Свойства неопределенных интегралов:

1. (∫f (x )dx )′ = f (x ) , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d (∫f (x )dx ) = f (x )dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫dF (x ) = F (x ) + C .

4. ∫(C 1 f 1(x ) + C 2 f 2 (x ))dx = C 1∫f 1(x )dx + C 2∫f 2(x )dx − свойство линей-ности ; С1, С2 - постоянные.

5. Если ∫f (x )dx = F (x ) + C , то

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег-рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х , используя свойство 1 интегралов и свойства производных.

П р и м е р 2 . Найти неопределенный интеграл: а) ∫(e x + cos5x )dx .

Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:

Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования .

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по-мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3 . Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.

2. Метод подстановки . Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож-де-нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной .

Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе-ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х - множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) + C , то

∫f(x)dx =∫f(φ(t)) φ ′(t)dt . (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ ′(t)dt нужно пе-рей-ти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos 3 x sinxdx.

а) Заменим sinxdx на (−d cos x ), т. е. внесем функцию cos x под знак диф-ференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе-мы на некотором промежутке Х и пусть u ′(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл ∫u ′(x )v (x )dx.

Тогда на этом промежут-ке имеет первообразную и функция u(x)v ′(x) и справедлива формула:

∫u (x )v ′(x )dx = u (x )v (x ) −∫v (x )u ′(x )dx (2)

∫udv = uv −∫vdu . (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую-щих функций: P (x )arcsin(ax ), P (x )arccos(ax ), P (x )arctg(ax ), P (x )arcctg(ax ), P (x )ln x , P (x )e kx , P (x )sin kx , P (x )cos kx , здесь P(x) - многочлен; e ax cosbx , e ax sin bx .

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи-сляются с помощью метода интегрирования по частям.

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg 3xdx .

Решение. Положим u = arctg 3x ; dv = dx . Тогда

По формуле (2) имеем

Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Пример 1. Найдем интеграл

Применив второе и пятое свойства неопределенного интеграла, получим

.(*)

Далее, используя формулы II , Ш, IV , VIII таблицы и третье свойство интегралов, находим каждый из слагаемых интегралов отдельно:

= ,

Подставим эти результаты в (*) и, обозначив сумму всех постоянных (ЗС 1 +7С 2 +4С 3 +2С 4 +С 5) буквой С , получим окончательно:

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную полученного выражения:

Мы получили подынтегральную функцию, это доказывает, что интегрирование выполнено верно.

Пример 2 . Найдем

В таблице интегралов приведено следствие III а из формулы III :

Чтобы воспользоваться этим следствием, найдем дифференциал функции, стоящей в показателе степени:

Для создания этого дифференциала достаточно домножить знаменатель дроби под интегралом на число 2 (очевидно, чтобы дробь не изменилась, необходимо при этом умножить на 2 и числитель). После вынесения постоянного множителя за знак интеграла он становится готовым для применения табличной формулы III а :

Проверка:

следовательно, интегрирование выполнено правильно.

Пример 3 . Найдем

Так как из выражения, стоящего в числителе, можно сконструировать дифференциал квадратичной функции, то следует выделить в знаменателе такую функцию:

Для создания ее дифференциала достаточно умножить числитель на 4 (знаменатель при этом также умножим на 4 и вынесем этот множитель знаменателя за интеграл). В результате мы получим возможность использовать табличную формулу X :

Проверка:

т.е. интегрирование выполнено верно.

Пример 4 . Найдем

Заметим, что теперь квадратичная функция, дифференциал которой можно создать в числителе, является подкоренным выражением. Поэтому разумно будет записать подынтегральную функцию как степенную, чтобы воспользоваться формулой I таблицы интегралов:

Проверка:

Вывод: интеграл найден правильно.

Пример 5. Найдем

Обратим внимание на то, что подынтегральное выражение содержит

функцию ; и ее дифференциал . Но дробь является также и дифференциалом всего подкоренного выражения (с точностью до знака):

Поэтому разумно представить дробь в виде степени:

Тогда после домножения числителя и знаменателя на (-1) мы получим степенной интеграл (табличная формула I ):

Дифференцированием результата убеждаемся, что интегрирование выполнено верно.

Пример 6. Найдем

Легко убедиться, что в этом интеграле из выражения дифференциал подкоренной функции не удастся получить с помощью числовых коэффициентов. Действительно,

где k -константа. Зато, по опыту примера 3 , можно сконструировать интеграл, совпадающий по виду с формулой X из таблицы интегралов:

Пример 7. Найдем

Обратим внимание на то, что в числителе легко создается дифференциал кубической функции d (x 3 ) = 3 x 2 dx . После чего мы получаем возможность использовать табличную формулу VI :

Пример 8. Найдем

Известно, что производной функции arcsin x является дробь

тогда

Это приводит нас к выводу, что искомый интеграл имеет вид степенного интеграла: , в котором и = arcsin x , a значит,

Пример 9 . Для нахождения

воспользуемся той же табличной формулой I и тем, что

Получим

Пример 10 . Найдем

Поскольку выражение является дифференциалом функции , то, используя формулу I таблицы интегралов, получаем

Пример 11. Для нахождения интеграла

воспользуемся последовательно: тригонометрической формулой

тем фактом, что

и формулой II таблицы интегралов:

Пример 12 . Найдем

Так как выражение

является дифференциалом функции , то, используя ту же формулу II , получаем

Пример 13 . Найдем интеграл

Заметим, что степень переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе. Это позволяет в числителе создать дифференциал знаменателя. Найдем

После вынесения постоянного множителя за знак интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на (-7), получим:

(Здесь использовалась та же формула II из таблицы интегралов).

Пример 14. Найдем интеграл

Представим числитель в ином виде: 1 + 2х 2 = (1 + х 2 ) + х 2 и выполним почленное деление, после чего используем пятое свойство интегралов и формулы I и VIII таблицы:

Пример 15. Найдем

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла, вычтем и прибавим в числителе 5, затем выполним почленное деление числителя на знаменатель и воспользуемся пятым свойством интеграла:

Для вычисления первого интеграла используем третье свойство интегралов, а второй интеграл представим в виде, удобном для применения формулы IX :

Пример 16. Найдем

Отметим, что показатель степени переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе (что характерно для производной), а значит, в числителе можно сконструировать дифференциал знаменателя. Найдем дифференциал выражения, стоящего в знаменателе:

d (x 2 - 5)=(х 2 - 5)" dx = 2 xdx .

Для получения в числителе дифференциала знаменателя не хватает постоянного множителя 2. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2 и вынесем постоянный множитель -

за знак интеграла

Здесь мы использовали II табличный интеграл.

Рассмотрим подобную же ситуацию в следующем примере.

Пример 17. Найдем

Вычислим дифференциал знаменателя:

Создадим его в числителе с помощью четвертого свойства интегралов:

Более сложная подобная ситуация будет рассмотрена в примере 19.

Пример 18, Найдем

Выделим в знаменателе полный квадрат:

Получим

После выделения полного квадрата в знаменателе мы получили интеграл, близкий по виду к формулам VIII и IX таблицы интегралов, но в знаменателе формулы VIII слагаемые полные квадраты имеют одинаковые знаки, а в знаменателе нашего интеграла знаки слагаемых различны, хотя и не совпадают со знаками девятой формулы. Добиться полного совпадения знаков слагаемых в знаменателе со знаками в формуле IX удается вынесением коэффициента (-1) за интеграл. Итак, чтобы применить формулу IX таблицы интегралов, проведем следующие мероприятия:

1) вынесем(-1)за скобки в знаменателе и затем за интеграл;

2) найдем дифференциал выражения

3) создадим в числителе найденный дифференциал;

4) представим число 2 в виде, удобном для применения формулы IX таблицы:

Тогда

Используя IX формулу таблицы интегралов, получим